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こんにちは。enaアーバイン校長の大内です。

 

さて、突然ですが問題です。

(問題) x+y+z=10を満たす自然数(x、y、z)は何組ありますか。

問題内容はとてもシンプルです。何となく小学生でも解けそうです。

場合の数は、同じような問題が中・高・大学入試に見つけられることがあります。

実際、上記の問題は小学生でも解くことが可能です。

もちろん、大学入試は答えだけでは駄目。答案がきちんと書けないとね。

 

(解法その1)

x=1のとき、y+z=9で、(y、z)=(1、8)(2、7)(3、6)・・・・(8、1)で8組

x=2のとき、y+z=8で、(y、z)=(1、7)(2、6)(3、5)・・・・(7、1)で7組

x=3のとき、y+z=7で、(y、z)=(1、6)(2、5)(3、4)・・・・(6、1)で6組

・・・・

x=8のとき、y+z=2で、(y、z)=(1、1)で1組

以上、8+7+6+・・・・+3+2+1=(8+1)×8÷2=36   (答え)36通り

規則性を上手に使った解法ですね。

(解法その2)

和が10になる組をまずは、小さい順に並べて(1、1、8)(1、2、7)(1、3、6)(1、4、5)(2、2、6)(2、3、5)(2、4、4)(3、3、4)

ここで、(A,A,B)型の並べ方は3通り、(A、B、C)型の並べ方は、6通り。よって、3×4+6×4=36   (答え)36通り

なるべく少なく数える上手な方法ですよね。

 

場合の数の基本は、まずは数えて調べてみることです。

計算オンリーで解こうとしてはダメです。

これは、小中高に共通しています。

なぜなら計算だけで解けない問題は数えるしかありませんからね。

(だだし、上手に数えないとテスト時間内に解けませんよ。)

 

しかし、高校生が手ごわいのは、数えて調べることを面倒臭がる生徒が多いことです。

10数年前のことですが、、ある日、数えることでしか答えがでない問題を小6・中3・高1にやらせたところ

2名だけが正解を得ました。何と2名とも小学生でした。高校生は、多くの生徒が数えようともしませんでした。

逆に小学生は数えて解こうとする生徒がほとんどでした。

(早く、解き方を教えて~と、ボヤいている高校生もいたなあ。)

 

上記の問題は、実は解法その3があって計算でも求められます。

(9×8)÷(2×1)=36通り

なぜ、こんな計算で答えが出るかは、ここでは省略します。

まあ、小学生でも理解可能な考え方ですが・・・・。

ちなみに、最初から解法その3でしか解きたくない方は、残念ながら10数年前の

正解を得た2名には永久になれないかもしれませんね・・・・。

(授業では、最初から解法その3を教えませんよ。まずは数え方をしっかりと練習させます。)

 

最後に、問題です。

(問題) x+y+z=15を満たす自然数(x、y、z)は何組ありますか。

この問題は、先週の高校生の授業で取り上げました。さすが、我が生徒さんたちは全員が正解でした。

数えるのを面倒臭がる生徒さんもおりませんでした。

(もちろん、計算で解く方法は教えておりません。全員、数えて解きましたよ!)

答えは、次週のブログで。

 

enaでは、理系大学を目指す高校生を応援します。

正規授業に加えて、補習や自習でもしっかりケア―して参ります。

 無料相談も承ります。

 

【校長 大内プロフィール】

高校時代の友人に誘われて塾業界に足を踏み入れたのが

大学1年の時。以来、塾業界一筋。楽しい授業の中にも

厳しさをモットーに海外の優秀な生徒たちと日々精進。

算数・数学のエキスパート。中学・高校・大学受験生を

多数指導。LA地区在住25年で帰国子女指導20年。

2児の父親であることからも保護者の目線でのアドバイスも可能。

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