こんにちは。enaアーバイン校長の大内です。

 

さて、突然ですが問題です。

（問題）　ｘ＋ｙ＋ｚ＝10を満たす自然数（ｘ、ｙ、ｚ）は何組ありますか。

問題内容はとてもシンプルです。何となく小学生でも解けそうです。

場合の数は、同じような問題が中・高・大学入試に見つけられることがあります。

実際、上記の問題は小学生でも解くことが可能です。

もちろん、大学入試は答えだけでは駄目。答案がきちんと書けないとね。

 

（解法その1）

ｘ＝１のとき、ｙ＋ｚ＝9で、（ｙ、ｚ）＝（1、8）（2、7）（3、6）・・・・（8、1）で8組

ｘ＝2のとき、ｙ＋ｚ＝8で、（ｙ、ｚ）＝（1、7）（2、6）（3、5）・・・・（7、1）で7組

ｘ＝3のとき、ｙ＋ｚ＝7で、（ｙ、ｚ）＝（1、6）（2、5）（3、4）・・・・（6、1）で6組

・・・・

ｘ＝8のとき、ｙ＋ｚ＝2で、（ｙ、ｚ）＝（1、1）で1組

以上、8＋7＋6＋・・・・＋3＋2＋1＝（8＋1）×8÷2＝36　　　（答え）36通り

規則性を上手に使った解法ですね。

（解法その2）

和が10になる組をまずは、小さい順に並べて（1、1、8）（1、2、7）（1、3、6）（1、4、5）（2、2、6）（2、3、5）（2、4、4）（3、3、4）

ここで、（Ａ，Ａ，Ｂ）型の並べ方は3通り、（Ａ、Ｂ、Ｃ）型の並べ方は、6通り。よって、3×4＋6×4＝36　　　（答え）36通り

なるべく少なく数える上手な方法ですよね。

 

場合の数の基本は、まずは数えて調べてみることです。

計算オンリーで解こうとしてはダメです。

これは、小中高に共通しています。

なぜなら計算だけで解けない問題は数えるしかありませんからね。

（だだし、上手に数えないとテスト時間内に解けませんよ。）

 

しかし、高校生が手ごわいのは、数えて調べることを面倒臭がる生徒が多いことです。

10数年前のことですが、、ある日、数えることでしか答えがでない問題を小6・中3・高1にやらせたところ

2名だけが正解を得ました。何と2名とも小学生でした。高校生は、多くの生徒が数えようともしませんでした。

逆に小学生は数えて解こうとする生徒がほとんどでした。

（早く、解き方を教えて～と、ボヤいている高校生もいたなあ。）

 

上記の問題は、実は解法その3があって計算でも求められます。

（9×8）÷（2×1）＝36通り

なぜ、こんな計算で答えが出るかは、ここでは省略します。

まあ、小学生でも理解可能な考え方ですが・・・・。

ちなみに、最初から解法その3でしか解きたくない方は、残念ながら10数年前の

正解を得た2名には永久になれないかもしれませんね・・・・。

（授業では、最初から解法その3を教えませんよ。まずは数え方をしっかりと練習させます。）

 

最後に、問題です。

（問題）　ｘ＋ｙ＋ｚ＝15を満たす自然数（ｘ、ｙ、ｚ）は何組ありますか。

この問題は、先週の高校生の授業で取り上げました。さすが、我が生徒さんたちは全員が正解でした。

数えるのを面倒臭がる生徒さんもおりませんでした。

（もちろん、計算で解く方法は教えておりません。全員、数えて解きましたよ！）

答えは、次週のブログで。

 

enaでは、理系大学を目指す高校生を応援します。

正規授業に加えて、補習や自習でもしっかりケア―して参ります。

 無料相談も承ります。

 

【校長　大内プロフィール】

高校時代の友人に誘われて塾業界に足を踏み入れたのが

大学1年の時。以来、塾業界一筋。楽しい授業の中にも

厳しさをモットーに海外の優秀な生徒たちと日々精進。

算数・数学のエキスパート。中学・高校・大学受験生を

多数指導。ＬＡ地区在住２５年で帰国子女指導２０年。

２児の父親であることからも保護者の目線でのアドバイスも可能。

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