こんにちは。いい先生がいい人とは限らないが、悪い先生は悪い人だと思っている飯田です。

前回「逆」について考えましたが、中学受験の問題にも応用できます。
2026年度洗足帰国枠入試B方式の算数の類題を作りました。受験生から仕入れた情報を元にこちらで考えたものです。とても似せていますが、実際の問題そのものではありません。ご理解くださいませ。

 

問
操作 ： 偶数は2で割り、奇数は1を加える.
ある数に、この操作をくり返して、1になったら操作をやめる。
(1)　234は何回操作をしたら1になるか。
(2)　5回操作をして1になる数の中で、4番目に小さいものは何か。

余裕のある方はぜひ解いてみてください。

 

 

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以下、解答解説

(1)はよくある具体例の確認です。(1)でこの「操作」を実践しながら、この「操作」の雰囲気・感覚というようなものを自分の中につくりましょう。これまで解いてきた問題の中で近いものを思い出せたら、とてもいいです。

234 → 117 → 118 → 59 → 60 → 30 → 15 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

正解は11回です。

(2)は「逆」がテーマになります。
操作を繰り返して、最後は1になるわけですから、1から、この操作の「逆」を繰り返していけば、元の数がわかるはずです。
2で割ることの逆は、2倍です。2倍すると必ず偶数になるので操作前の条件も満たしています。1を加えることの逆は1を引くことです。1を引いて奇数にならなくてはいけないので、逆算操作前は偶数です。
よって、「逆算」は、奇数なら2倍のみ、偶数なら2倍または1を引く。
「1」に「逆の操作」をすると、「2」。
「2」に逆をすると、「4」か「1」。「1」は不適当です。
「4」に逆をすると、「8」か「3」。
「8」に逆をして「16」「7」。「3」に逆をして「6」。
これらに逆をして、「5,12,14,15,32」
4番目に小さいものは「15」です。ちなみに、個数がフィボナッチ数列になっていますね。

★逆から考える
このように、パズル系の問題や、規則性の問題などで、「逆」から考えて答えを導くことがよくあります。

・類題
ちなみに、操作を「偶数は2で割り、奇数は1を引く」とすると、(1)を2進数で早く解く方法があります。
2進数の数を「÷2」をすることは「1の位の0をとる」作業と同じ。「-1」をすることは「1の位の1」を「0」にすることと同じになります。次に「÷2」して下野位の「0」をとれます。
以上から、下の位から「0」は1回操作、「1」は2回操作で消えます。

類題(1) 「234」を2進数にして「11101010」。
よって、下の位から「0,1,0,1,0,1,1,1」。最後に1が残ればいいので、「0,1,0,1,0,1,1」を取るから、1回+2回+1回+2回+1回+2回+2回=11回。
たまたま本題(1)と同じ答えになりましたが、常に同じ答えにはなりません。

では、失礼します。

enaあざみ野校校長・算数数学担当　飯田

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