こんにちは。ディリクレはフェルマーの最終定理についても功績があるドイツの数学者です。飯田です。

前回、数学の典型的な証明方法についてご紹介しました。演繹法、背理法、数学的帰納法についてお話しました。

かなりマニアックですが、他にもいろいろな証明方法があります。
今日は「鳩の巣論法」を紹介しましょう。ちなみに、入試問題で「鳩の巣論法」が出題される場合、以下のような説明がたいていあります。

「鳩の巣論法」は別名、「ディリクレの箱入れ原理」とも呼ばれます。
「 n個の巣に(n+1)羽以上の鳩を入れると、少なくとも1つの巣には2羽以上の鳩が入る」という証明方法です。では、問題です。

問題1
神奈川県の住民で、髪の毛の本数が同じ人はいるか？
証明も書け。

 

 

 

 

 

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答え：いる

証明：
髪の毛の本数はだいたい10万本くらいらしいです。もちろん、人によります(笑)が、多くても20万本もいかないのではないでしょうか。
神奈川県の人口は、900万人以上らしいです。1000万人はいないのでしょう。
よって、鳩の巣論法より、少なくとも、ある髪の毛の本数に2人以上の該当者がいることになります。

問題2
A君の学校は400人の生徒がいます。この中に誕生日が同じ人はいますか？
証明も書け。

 

 

 

 

 

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答え：いる

証明：
誕生日は、うるう年も考えれば、366種類あります。
生徒数は、400人です。
よって、鳩の巣論法より、少なくとも、ある誕生日に2人以上の該当者がいることになります。

昔、広島大の問題で、「1辺の長さを2とする正三角形内に5個の点をとると、距離が1以下となる2点が必ず存在することを証明せよ」というような問題が出題されたことがあります。

お暇な方は考えてみてください。

では、失礼します。

enaあざみ野校校長・算数数学担当　飯田

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