こんにちは。無限が大好きカントール。飯田です。

ちょうどカントールの誕生日3月3日の冒頭でカントールホテルのお話をしましたが、なんのこっちゃわからなかったと思います。

カントールホテルは、ルームNo1,No2,No3,No4,… と無限に部屋があります。

今、このホテルの部屋が全てお客さんでうまっているとします。さて、新しいお客さんが1人やってきました。この人は泊まることができますか。

 

 

 

 

 

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解答　「できます。」
次のような考え方になります。
現在の宿泊者たち全員に、「今の部屋番号+1の部屋に移ってください」と伝えて移動してもらいます。そうすると、No1の部屋が空くので、ここに新しいお客さんに泊まってもらいます。

 

1,2,3,… を自然数と呼びます。この自然数の個数・サイズ（正確には「濃度」とよびます。）は可算濃度アレフ・ヌルと呼びます。上の問題から、自然数の個数を1個を増やしても、アレフ・ヌルです。2個増やそうが、3個増やそうが、アレフ・ヌルです。

…,-3,-2,-1,0,1,2,3,… は整数です。不思議なことに、整数の個数もアレフ・ヌルです。
ここでカントールが考えたことは、ものを数える基本である1対1対応です。
整数の「0」を自然数の「1」と対応させます。
整数の「1」を自然数の「2」と対応させます。
整数の「-1」を自然数の「3」と対応させます。
整数の「2」を自然数の「4」と対応させます。
整数の「-2」を自然数の「5」と対応させます。
…
整数の「0」から、右、左、右、左、… と数えていけます。言葉をかえれば、ナンバリングができます。
ということは、自然数と整数の1対1対応ができます。つまり、整数も可算濃度アレフ・ヌルと考えることができます。
ということは、自然数と整数は個数・サイズが等しいのです。不思議ですねえ。でも、これが無限の魅力でもあります。

では、有理数のサイズはどうなるでしょうか。
有理数とは、1/3 , -0.7 , 13/6 などのように分数で書ける数です。面白いので、次回までの宿題としましょうか。

では、失礼します。

enaあざみ野校校長・算数数学担当　飯田

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