こんにちは。点々…の世界は全て同じです。飯田です。

前回出した宿題が「有理数のサイズ」でした。
有理数とは、1/3 , -0.7 , 13/6 などのように分数で書ける数です。
実はこれも可算濃度アレフ・ヌルです。つまり、自然数と同じサイズです。

んなわけないでしょとみな考えますが、カントールはこれも1対1対応できることに気づきました。
細かいところは端折って、やや乱暴な説明をします。
1/1,1/2,1/3,1/4,…
2/1,2/2,2/3,2/4,…
3/1,3/2,3/3,3/4,…
というような表を考えます。左上から、1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, … の順番で1,2,3,…とナンバリングすればいいのです。
実際は約分して同じものを除いたり（既約分数のみで考える）、負の数や0についても考える必要がありますが、前回整数が可算濃度であることを説明したときの方法などを使って処理できます。
ということで、乱暴で申し訳ありませんが、有理数も可算濃度アレフ・ヌルとなります。細かい話は大学の位相・集合などで勉強してくださいね。

では、有理数にπやルート2などの無理数も合わせた「実数」のサイズはどうなるのでしょうか。ということで、また宿題にしましょう。

では、失礼します。

enaあざみ野校校長・算数数学担当　飯田

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