無限の話カントール3「連続体濃度」

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無限の話カントール3「連続体濃度」

2026年06月12日

こんにちは。点々…の世界から、のべぇ〜とした連続の世界へ。飯田です。

前回出した宿題が「実数のサイズ」でした。
実数とは、1/3 , -0.7 , 13/6 などのように分数で書ける有理数と、円周率 π やルート2 などの無理数を合わせたものです。

カントールはここで、対角線論法を用います。
0から1の範囲の実数の濃度は、実数全体の濃度と同じです。これは1対1対応で説明可能ですが、ここでは端折ります。
0から1の範囲の実数を2進数にして、以下のようにならべていきます。
0.000000010…
0.001000101…
0.011010101…
0.100001111…
0.101010100…
0.111000101…
0.111010101…
…
という感じで、ここに全て並べたと仮定します。これを実数表とよびましょう。
次の方法で新しい数xを作ります。
上から1番目の数の小数第1位が0なので、xの小数第1位を1とします。
上から2番目の数の小数第2位が0なので、xの小数第2位を1とします。
上から3番目の数の小数第3位が1なので、xの小数第3位を0とします。
…
これを最後まで続けると、xは実数表のどの数とも異なることになりますが、最初に全て並べたと仮定しているの矛盾します。つまり、全て表にできるという仮定が間違っています。表にできれば1対1対応ができ、可算濃度アレフ・ヌルと等しいことがわかりますが、残念ながらそうではないことがわかりました。
この実数全体の濃度を連続体濃度アレフと呼びます。