無限の話カントール4「連続体仮説」

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2026年06月17日

こんにちは。自然数の冪集合と実数の濃度は等しいです。これもカントールが示しました。飯田です。

ドイツの数学者ゲオルク・カントールは、自然数などの個数・サイズを表す可算濃度アレフ・ヌルと、実数などの個数・サイズを表す連続体濃度アレフの間に何かないのか探します。そして、この間には「別の無限の階段（濃度）はない」と主張しました。これが「連続体仮説」です。

その後、20世紀の数学者たちによって驚くべき結論が導き出されました。乱暴に言ってしまえば、「あり」でも「なし」でもどっちでもいいという結論です。連続体仮説を「正しい」とする体系と、「正しくない」とする体系のどちらも数学的に作ることができます。

1940年、ゲーデルは、ある公理系に連続体仮説を付け加えても矛盾は生じない（証明できないが否定もできない）ことを示しました。

逆に、ポール・コーヘンは、1963年、ある公理系の公理から連続体仮説の否定を付け加えても矛盾が生じないことを証明しました。

「連続体仮説」の真偽は決定できないということです。標準的な公理系の中では証明も反証もできないことがわかっています。

カントールがこの結論について、何を思うか知りたかったですね。

次回、カントールの生涯について総括したいと思います。

では、失礼します。

enaあざみ野校校長・算数数学担当　飯田