こんにちは。取っ手が1つのコーヒーカップとドーナツは同じと考えるのがトポロジーです。飯田です。

トポロジーの話が何回か出てきましたので、そのお話をしたいと思います。

トポロジーの有名な実例は、メビウスの輪でしょう。細長い長方形、帯のようなものを用意します。端と端をそのままくっつけて、帯の真ん中をはさみで切ります。この場合は、2つの輪っかができるだけです。しかし、180度ねじってから端と端をくっつけて真ん中を切ると1本の輪っかになります。不思議ですね。

表と裏、左回りと右回り、線と面、伸ばしたり縮めたり捻ったり、などの図形の性質を考えるのが位相幾何学トポロジーです。

これって、中学入試、高校入試では関係ないでしょと思われる方も多いでしょう。
トポロジカルなテクニックで解ける問題があります。ちょうど最近小6で扱った円の回転移動です。

例題「正五角形の周りを半径1cmの円がすべらずに回転して1周するとき, 円の中心が動いた距離は何cmですか。また、円が動いたあとの面積は何cm^2ですか。 」
このとき、正方形でも、正五角形でも、おうぎ形でも、凸型図形であれば、
「円が動いたあとの面積=道幅 × 円の中心が動いた距離」
になります。上の問題なら、道幅は円の直径2cmです。

これがなぜかをしっかり証明するのはやや面倒なので、イメージだけ伝えますと、円が動いたあとの図形のどこかを切って、曲げて、長方形に整えて、立てましょう。そのとき、幅は円の直径、高さは中心が動いた距離となるのです。

これ、立体図形にも使えて、ある図形を、ある軸（回転軸）の周りで1回転します。このときできる立体の体積は、「図形の面積 × 図形の重心が1周回転して動いた距離」となります。ドーナツの体積もこれで出せます。

では、失礼します。

enaあざみ野校校長・算数数学担当　飯田

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